柏林自由大学的数学家，于最新研究里头指出，那平面镶嵌，可不单单只是视觉方面的装饰艺术，它背后藏着解决复杂数学问题的有力工具。为啥这么说，但凡是镶嵌，就是用几何图形在平面上无缝铺满、一直到既不重叠又不留空隙的图案，而研究团队已经证明，这类结构不仅有着强烈的审美吸引力，并且还能够当成分析复杂方程和边值问题的数学框架。

这项研究是由海因里希·贝格尔（ ）和王大江（Wang）合作完成的，它发表在了期刊《 》上，该研究结合了复分析、偏微分方程以及几何函数论等多个领域的思想 。这项研究聚焦所谓“镶嵌—反射原理”（- ） ：具体就是通过沿着多边形边界不断地做几何反射 ，进而将一个局部图形扩展为能够铺满整块平面的规则图案 。

这种方法和大众熟知的埃舍尔那种艺术镶嵌有类似之处，不过研究显示，其在数学这方面所拥有的价值远远高于视觉达成效果。详细地来说，这个原理给办理经典边值问题，像那种在数学物理里边常常出现的狄利克雷问题以及诺伊曼那么特殊的问题，给出了一种相关系统方法，从而让在镶嵌的区域内容制造函数表达变成了有实现的可能性。

贝格尔宣称，数学里边所谓的“美”，其意义可不单单只是一种审美方面给出的判定，而且更加表现在结构角度当中那种比较深层次程度，连同计算部分展现出来的高效能。和之前比较侧重于关注“可不可以把平面完完全全铺满”的镶嵌钻研状况不一样的是，凭借镶嵌与反射此项原理去生成全新的镶嵌呈现图案，这样的做法能够完完全全直接转变成为具体的函数表示工具，在数学物理以及工程等相关领域具备潜在的应用价值。

有着如此一个情况，那就是研究存在一项重要成果，该重要成果是能够把格林核（Green ）、诺伊曼核（ ）甚至施瓦茨核（ ）等这类“核函数”的显式公式给出来，就是这样子的情况。 这些核函数在解决各类边值问题里处于核心地位，新的构造方法借此在几何直观跟严谨分析之间构建起清晰的桥梁，就是这样的情况。

在过去的十年时间当中，“镶嵌—反射原理”在青年学者里持续不断地引发着兴趣，自这个概念被提出来以后，在自由大学柏林已经催生了十五篇学位论文以及结题论文，在德国以外的高校还推动完成了七篇博士论文。

需要留意的是，此一原理并非限定于欧几里得空间，于和理论物理以及时空可视化紧密关联的双曲几何里同样能够适用。2024年，贝格尔于《 and 》上刊发了论文《 : Green for a in 》，以此呈现出怎样在双曲平面上一块被称作“施魏卡特三角形”（ ）的区域范围之内构建调和格林函数。

王大江称sketch mirror，期望此项工作不但于纯数学以及数学物理内部引发效应，还可为诸如建筑设计和计算机图形学等范畴带去全新的灵感 ，研究团队着重指出，当当代图形软件以及数字工具同这些数学构造相结合之际，能够进一步扩大其视觉以及应用潜力 。

近二十年来，在自由大学柏林数学研究所，由贝格尔领导的团队一直在搞研究，研究的是所谓“柏林镜面镶嵌”！这一方法源于这样一个原理，是由柏林的数学家赫尔曼·阿曼德斯·施瓦茨提出的统一反射原理，他生活在1843–1921，该原理是通过反复反射一种图形，这种图形是由直线与圆弧构成边界的“圆多边形”，最终能得到覆盖整个平面的无缝镶嵌 。

这些图案，在视觉方面极具冲击力，更为关键的是，它们可以把函数的显式积分表示给产生出来，它就是解决复杂边值问题，所需要用到的那个关键工具。贝格尔颇具形象性地回顾讲道，早期的数学家，只能依靠“三面梳妆镜”去制造无限反射的画面，而现在呢，则有办法通过迭代计算机程序把同样的效果生成出来，并且还会用复分析里的精确公式来加以辅助。

于双曲空间里，像是单位圆盘内部这样的区域中进行的镶嵌，被视作在视觉方面格外令人惊艳无比，然而却也给数学处理环节带来特殊的挑战性难题。施魏卡特三角形，它是一种具备一个直角以及两个“零角”的特殊三角形sketch mirror，是以业余数学家同时还是法学教授的费迪南德·库尔特·施魏卡特（ Kurt ，1780–1857）来命名的，正是在这样的背景状况之下成为了众人瞩目的焦点。

圆盘之内，这类三角形能够进而构建起有序、完备的镶嵌形态，此镶嵌形态从而展现出的图案，为数目众多的计算机图形艺术家还有建筑师交付了饶具新意的审美素材。与此同时，这类三角形潜藏其后的数学布局极为费解，需借助极度高级的分析方式予以推进。

研究团队表明，这些成果再次示意说明，数学这一学问，不但是一门抽象的学科，而且还是一门具有高度“可视”特点的科学，其中结构、对称以及美感在里面起着核心要害的作用。在现代可视化技术、图形软件以及数字工具的助力支持下，镶嵌与反射原理的运用前景有希望能够获得进一步扩充拓展，从理论方面的探索延伸到工程实际作业以及视觉创作等多个不同的领域。

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